主题:
数论/抽象代数

题目:
对于一个群G, 若有

且
都为质数
则必存在元素a≠e
|a|=k

习题 还是 OT (在[]中填入x表示勾选):

• 习题
• OT

推荐理由:
书上有k=3时的特殊情况。虽然特殊情况有一个非常漂亮的证明，但是对一般情况我们可以有更好的结论

题解:
选择G中的一个元素e,
如果任意p_i都不整除|e|, 那么k仍然整除得到的商群的阶(order)
考虑G模e得到的商群(记作G')，它的阶更小，且仍然满足题设条件
如果存在p_i整除|e|， 那么必有e的c次方，使得|e^c|=p_i
那么考虑G模e^c得到的商群(记作G')，它的阶更小，且k'=k/p_i也更小
因此，在有限步操作之后，我们可以规约到k'=|G'|=1的情况
则之前模掉的所有因子的乘积的阶必为k

参考资料:

其它: