Python怎样实现杨辉三角

# Python怎样实现杨辉三角 杨辉三角（帕斯卡三角）是二项式系数在三角形中的几何排列，具有丰富的数学性质和编程实践价值。本文将介绍三种Python实现方法，并分析其优劣。 ## 一、杨辉三角的数学特性 杨辉三角的第n行（从0开始）对应二项式$(a+b)^n$展开的系数，具有以下性质： 1. 每行首位和末位为1 2. 其余每个数等于它上方两数之和 3. 第n行有n+1个元素 ## 二、基础实现方法 ### 方法1：嵌套列表法 ```python def pascal_triangle(n): triangle = [] for i in range(n): row = [1] * (i + 1) for j in range(1, i): row[j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j] triangle.append(row) return triangle # 打印前6行 for row in pascal_triangle(6): print(row) 

优点：直观易理解，直接体现数学定义
缺点：空间复杂度O(n²)

方法2：生成器实现

def pascal_triangle_gen(n): row = [1] for _ in range(n): yield row row = [1] + [row[i] + row[i+1] for i in range(len(row)-1)] + [1] # 使用示例 for row in pascal_triangle_gen(5): print(row) 

优点：内存高效，适合大三角计算
缺点：无法随机访问特定行

三、进阶优化方案

方法3：组合数公式法

利用组合数公式\(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)实现：

from math import comb def pascal_comb(n): return [[comb(i, j) for j in range(i+1)] for i in range(n)] # 示例输出 print(pascal_comb(5)) 

优点：数学表达简洁
缺点：重复计算阶乘，效率较低

优化版本（记忆化）：

from functools import lru_cache @lru_cache(maxsize=None) def fact(n): return 1 if n < 2 else n * fact(n-1) def pascal_memo(n): return [[fact(i)//(fact(j)*fact(i-j)) for j in range(i+1)] for i in range(n)] 

四、格式化输出技巧

实现美观的等腰三角形输出：

def print_pretty(triangle): max_width = len(' '.join(map(str, triangle[-1]))) for row in triangle: print(' '.join(map(str, row)).center(max_width)) # 使用示例 print_pretty(pascal_triangle(6)) 

输出效果：

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 

五、性能对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
嵌套列表	O(n²)	O(n²)	需要完整三角
生成器	O(n²)	O(n)	逐行处理
组合数公式	O(n³)	O(n²)	小规模计算
记忆化组合数	O(n²)	O(n²)	需要多次重复计算

六、实际应用场景

1. 概率计算（二项分布）
2. 多项式展开
3. 动态规划问题
4. 算法教学案例

结语

不同实现方式各有优劣，建议根据实际需求选择。生成器版本在大多数场景下表现最优，兼顾了内存效率和代码可读性。理解杨辉三角的实现有助于培养递归思维和动态规划思想。 “`