怎么使用Python实现最速下降法求极值的方法

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对于一个多元函数，用最速下降法（又称梯度下降法）求其极小值的迭代格式为

其中为负梯度方向，即最速下降方向，αkαk为搜索步长。

一般情况下，最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术，比如精确线性搜索，但是更常用的是不精确线性搜索，主要是Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。

为了调用的方便，编写一个Python文件，里面存放线性搜索的子函数，命名为linesearch.py，这里先只编写了Goldstein线性搜索的函数，关于Goldstein原则，可以参看最优化课本。

线性搜索的代码如下（使用版本为Python3.3）：

''' 线性搜索子函数 ''' import numpy as np import random def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):   flag=0   a=0   b=alpham   fk=f(x)   gk=df(x)   phi0=fk   dphi0=np.dot(gk,d)   alpha=b*random.uniform(0,1)   while(flag==0):     newfk=f(x+alpha*d)     phi=newfk     if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):       if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):         flag=1       else:         a=alpha         b=b         if(b<alpham):           alpha=(a+b)/2         else:           alpha=t*alpha     else:       a=a       b=alpha       alpha=(a+b)/2   return alpha

上述函数的输入参数主要包括一个多元函数f，其导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值是根据Goldstein准则确定的搜索步长。

我们仍以Rosenbrock函数为例，即有

于是可得函数的梯度为

最速下降法的代码如下：

""" 最速下降法 Rosenbrock函数 函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2 梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T) """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import random import linesearch from linesearch import goldsteinsearch def rosenbrock(x):   return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2 def jacobian(x):   return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)]) X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05) X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05) [x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2) f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数 plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线 def steepest(x0):   print('初始点为:')   print(x0,'\n')     imax = 20000   W=np.zeros((2,imax))   W[:,0] = x0   i = 1      x = x0   grad = jacobian(x)   delta = sum(grad**2) # 初始误差   while i<imax and delta>10**(-5):     p = -jacobian(x)     x0=x     alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)     x = x + alpha*p     W[:,i] = x     grad = jacobian(x)     delta = sum(grad**2)     i=i+1   print("迭代次数为:",i)   print("近似最优解为:")   print(x,'\n')     W=W[:,0:i] # 记录迭代点   return W x0 = np.array([-1.2,1]) W=steepest(x0) plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹 plt.show()

为了实现不同文件中函数的调用，我们先用import函数导入了线性搜索的子函数，也就是下面的2行代码

import linesearch from linesearch import goldsteinsearch

当然，如果把定义goldsteinsearch函数的代码直接放到程序里面，就不需要这么麻烦了，但是那样的话，不仅会使程序显得很长，而且不便于goldsteinsearch函数的重用。

此外，Python对函数式编程也支持的很好，在定义goldsteinsearch函数时，可以允许抽象的函数f，df作为其输入参数，只要在调用时实例化就可以了。与Matlab不同的是，传递函数作为参数时，Python是不需要使用@将其变为函数句柄的。

运行结果为

初始点为: [-1.2 1. ]  迭代次数为: 1504 近似最优解为: [ 1.00318532 1.00639618] 迭代点的轨迹为

由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同，比如再运行一次程序，得到

初始点为: [-1.2 1. ]  迭代次数为: 1994 近似最优解为: [ 0.99735222 0.99469882]

所得图像为

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